Calcolo dello spessore e della flessione massima

dei vetri di un acquario.

di Luigi F.

Sempre più spesso, molti appassionati del fai da te si cimentano nella realizzazione di acquari, ma pochi si chiedono quale sia lo spessore corretto del vetro da utilizzare e quali siano le garanzie di sicurezza e gli accorgimenti tecnici che ci mettono al riparo da possibili rotture. Molte sono anche le tabelle che troviamo sparse nel web, spesso senza alcuna logica matematica e quasi sempre riportanti spessori del vetro eccessivi che portano inevitabilmente a lievitare il costo degli acquari. Ma quante sono le persone che hanno sentito parlare di Roark o di Timoschenko. Vi chiederete chi sono: semplicemente due ingegneri che hanno fatto storia con la scrittura di formule semplificate che traggono dall’analisi teorica dell’elasticità e della flessione dei materiali, gli aspetti più direttamente applicativi per la realizzazione di strutture portanti, anche di solo vetro.

Prima di addentrarci nell’argomento afferente al metodo di calcolo per la determinazione dello spessore minimo richiesto e della conseguente flessione, diamo uno sguardo più da vicino a questo materiale. Dal punto di vista chimico il vetro è un prodotto ottenuto dalla fusione di diverse sostanze miscelate tra loro, secondo le seguenti percentuali approssimative:
•    72% di silice, sotto forma di quarzo o sabbia;
•    15% di carbonato di sodio e potassio;
•    10% di carbonato di calcio e magnesio;
•    2% di allumina;
•    1% di altri ossidi che servono come coloranti o per conferire ulteriori caratteristiche.

La variabilità di queste sostanze e i limiti imposti dal processo di produzione, comportano una diversità di resistenza del vetro. Generalmente, nella realizzazione di strutture in vetro come del resto per tutte le altre realizzazioni, per il calcolo dello spessore sono utilizzati specifici coefficienti di sicurezza. Questi coefficienti hanno lo scopo di ridurre il rischio di possibili rotture. Il coefficiente comunemente utilizzato per la costruzione di vasche interamente in vetro è compreso tra 3,2 e 3.8 e tiene conto dei carichi permanenti con coefficienti di flessione variabili tra 5 e 6 N/mm2. Tuttavia verifiche effettuate su vasche commerciali hanno portato a constatare l’utilizzo di coefficienti di sicurezza ben più bassi (1,7÷2,5). Un particolare importante, spesso trascurato nella realizzazione degli acquari, è quello relativo all’utilizzo del composto di unione delle lastre, comunemente silicone, che deve avere non solo un adeguato spessore per consentire la correzione di eventuali irregolarità di taglio e la dilatazione termica del vetro, bensì caratteristiche di resistenza e di adesività molto elevate. Una regola generale è quella di utilizzare uno spessore di silicone pari a 2÷3 mm per metro di lunghezza.

Relativamente alla dilatazione termica, questa è calcolabile mediante la formula L*9*10̄-6*t.  Per fare un esempio, una lastra di vetro lunga 1 metro riscaldata alla temperatura di 28°C, subisce un allungamento pari a 1000*9*0,000001*28= 0,252 mm.
Diamo ora uno sguardo alle caratteristiche meccaniche del vetro comunemente utilizzato per la realizzazione degli acquari:
•    Densità:                        2,5 kg/m2
•    Durezza:                        6,5 scala Mohs
•    Coefficiente di Poisson            0,22
•    Modulo elastico                    700000 GPa
•    Resistenza a trazione                19,2 MPa
•    Resistenza alla flessione             40 N/mm2
•    Resistenza a compressione             1000 N/mm2
•    Coefficiente di dilatazione termica        9×10-6
•    Conducibilità Termica                1 Kcal/hm0C

Tornando alle formule di Roark e di Timoschenko, occorre precisare che entrambe danno risultati pressoché simili, ma quelle di Timoschenko interessano un campo più ampio di variabili relativamente al rapporto base altezza perché tengono conto di costanti diverse e considerano le lastre vincolate su tre o su quattro lati ovvero con o senza tiranti. Nel primo caso (senza tiranti) sono interessati il fondo delle lastre frontali e laterali, nel secondo caso (con tiranti) anche il lato superiore. Nello specifico, ci limiteremo al calcolo dello spessore e della flessione massima per lastre sostenute lungo i quattro i lati, considerando come elemento aggiuntivo di sicurezza che la colonna d’acqua sia pari all’altezza della nostra vasca. Da tutto ciò, possiamo quindi affermare che lo spessore dei vetri dipende solo dall’altezza della colonna d’acqua e dal numero di appoggi utilizzati. Non va peraltro sottovalutata la spinta dell’acqua sui vetri dovuta alla pressione, il cui valore dipende solo dall’altezza della colonna d’acqua. Poiché la pressione dell’acqua è direttamente proporzionale all’altezza, la formula da utilizzare è p=H*10 N/mm2. Volendo essere più precisi, la formula corretta dovrebbe essere H*9,81 (forza di gravità) N/ mm2.
Per facilità di comprensione utilizzeremo le formule di Timoschenko. Mediante le formule di Timoschenko è possibile determinare lo spessore minimo ammesso per le lastre di vetro piane monolitiche (non stratificate) sottoposte a una pressione uniformemente ripartita. Come accennato, queste formule si basano su coefficienti di deformazione e sul calcolo di equazioni che tengono conto del rapporto esistente tra lunghezza e altezza delle lastre. Allora vediamo in maniera generale quali sono le equazioni che devono essere utilizzate per i nostri calcoli:
•    Lo spessore del vetro è proporzionale alla radice quadrata del coefficiente di deformazione β³ x altezza/coefficiente di flessione massima ammessa;
•    La sollecitazione a flessione massima è uguale alla resistenza alla trazione/fattore di sicurezza;
•    La deformazione del vetro è proporzionale al rapporto tra il coefficiente di deformazione α x p x H⁴/modulo di elasticità x spessore³;
•    La flessione massima è proporzionale al rapporto del coefficiente di deformazione α³xH⁴/sollecitazione a flessione x spessore³;
L’utilizzo delle citate equazioni comporta la conoscenza di dati ed elementi aggiuntivi di calcolo e, ovviamente, una discreta padronanza della matematica:
•    le dimensioni delle lastre;
•    il rapporto lunghezza/altezza (L/H);
•    il coefficiente di deformazione (α₂)
•    il coefficiente di deformazione (β₂)
•    l’altezza della colonna d’acqua (q)
•    il coefficiente di Poisson (ν)
•    la sollecitazione a flessione (σ)
•    il numero degli strati (n)

Sono comunque dati ricavabili attraverso semplici rapporti matematici. Timoschenko ci viene in aiuto semplificando i calcoli attraverso l’utilizzo di due sole formule per la determinazione dello spessore minimo (e) e della flessione massima (f) del vetro, purché la vasca sia provvista di appositi tiranti:

Quindi,
lo spessore (e), è proporzionale alla radice quadrata del coefficiente di deformazione β₂ x 10³ x a/n x σ  dove a è l’altezza della lastra, n è il numero degli spessori, σ è la sollecitazione a flessione .
La flessione (f) è proporzione al rapporto (1,6 x coefficiente di deformazione α₂ x a⁴)/spessore nominale calcolato (en³) x numero dei componenti) x altezza colonna acqua.
Facciamo un esempio:
Lunghezza (L) = 2000 mm
Altezza (H) = 600 mm
Applicando le formule di Timoschenko che considerano i seguenti coefficienti di deformazione α₂ = 6,12 e β₂ = 3,596 otteniamo:
Rapporto L/H = 3,33
Coefficiente di deformazione
Sollecitazione a flessione = 5,34 N/mm²
Colonna acqua = 600 mm
Spessore  = 12,06 mm
Flessione massima = 0,43 mm
Volendo confrontare i dati ottenuti con le formule di Timoschenko con quelli ottenibili mediante le formule di Roark, premesso che con quest’ultime è necessario inserire manualmente il coefficiente di sicurezza che volgiamo utilizzare, otterremo a parità di dimensioni i seguenti valori:
Spessore = 11,04 mm            > ∆e = – 1,02 mm
Flessione massima = 0,35 mm        > ∆f  = – 0,08 mm
Fattore di sicurezza utilizzato = 3,8
Se osserviamo i dati ottenuti mediante le formule di Timoschenko e di Roark, noteremo, come detto in precedenza, che lo spessore e la flessione massima possono essere ritenuti pressoché simili. La differenza è riscontrabile solamente nelle variabili e nel calcolo delle costanti, utilizzate per determinare i coefficienti di deformazione dai due ingegneri.
Per semplificare le operazioni di calcolo e consentire a chiunque di poter verificare i dati necessari per la realizzazione di un acquario, è stata realizzata una piccola applicazione basata su un foglio di calcolo che utilizza appunto le formule di Timoschenko. L’utilizzo è semplicissimo, basta inserire le dimensioni (L/H) perché l’applicazione restituisca lo spessore e la flessione massima dei vetri da utilizzare.

 

N.B. per avere la tabella di calcolo raffigurata sotto in Excel, dovete richiederla direttamente alla redazione.

 

 

Leggi l’articolo: COME COSTRUIRE UNA VASCA FAI DA TE

 

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Antonello Greco di SGDiscus su MondoDiscus	Euroflora 2011. Genova 21 Aprile – 1 Maggio
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